Title:

Komplexe Zahlen

Description:  Die komplexen Zahlen haben den Sinn, Lösungen für quadratische Gleichungen zu finden, die keine reelle Lösung haben.
Author:Constantin Benes
deutsch
  
ISBN: 3110203545   ISBN: 3110203545   ISBN: 3110203545   ISBN: 3110203545 
 
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Komplexe Zahlen




1.   Einführung (Definition) komplexer Zahlen

1.1.  Erste Einführung komplexer Zahlen

Die komplexen Zahlen haben den Sinn, Lösungen für quadratische Gleichungen zu finden, die keine reelle Lösung haben. Z.B.: x²+4x+13=0;
Durch Berechnung dieser Gleichung mit der „kleinen Lösungsformel“ kommt man zu dem Ergebnis: x1,2=
-2 +-Ö -9= - 2 +- 3 * Ö -1;

Der Sinn komplexer Zahlen ist es nun, das nicht existente Quadrat von -1 zu überbrücken.
Das wird so bewerkstelligt, dass eine neue Zahl i eingeführt wird. i² =
-1
Þdadurch hat nun die quadratische Gleichung x² + 4x +13=0 zwei Lösungen.
Um das zu beweisen führe ich nun die Probe an:

Probe für x1 (=- 2 + 3i):     (- 2 + 3i)2 + 4 * (- 2 + 3i) +13 = 0
                                             (4
- 12i + 9i2 ) + (-8 +12i) +13 = 0     (i²= -1)
                                                     4
- 12i - 9 - 8 + 12i + 13 = 0
                                                                                          0 = 0         
Þ (wahre Aussage)

Nun gilt es noch zu beweisen, dass die in R gültigen Rechenregeln auch in C anwendbar und gültig sind.

1.2.   Systematische Einführung komplexer Zahlen

Erläuterung zur Zahl i: Potenzen:

          i³ = - i                           weil i² * = -i
          i4 = +1                           weil i² * i² = (
- 1) * (-1) = +1

          i5
          .
          .
          .

”Zahlen” der Art b*i mit bÎR heißen „imaginäre Zahlen“.
“Zahlen“ der Art a + b*i mit a, b
ÎR heißen „komplexe Zahlen“.
Die reelle Zahl a heißt Realteil der komplexen Zahl  z = a + bi (a=Rez).
Die reelle Zahl b heißt Imaginärteil der komplexen Zahl  z = a + bi
(b=Imz).
                                    Realteil                       Imaginärteil
                                               z = a + b * i        (a,b
ÎR)

Für b=0
Þ  a + 0 *i = a Î R
Daher ergibt sich nun: Die Menge C aller komplexen Zahlen umfasst die Menge R aller reellen Zahlen: R
Ì C.
Diese „Teilmengenbeziehung“ ist nun in der GAUSS’schen Zahlenenbene darstellbar
[CB1] :

Aus dieser Darstellung ist nun zu erkennen, dass jeder reellen Zahl a genau ein Punkt der reellen Achse entspricht, und daher auch jeder imaginären Zahl b*i genau ein Punkt der imaginären Achse entspricht.
Das Problem der komplexen Zahlen ist hier jedoch, dass die Zahlen in der GAUSS’schen Zahlenebene nicht angeordnet werden können.
à daher ist keine Ordnung „£“ in C definiert werden kann, was bedeutet, dass keinerlei Monotonie – Gesetze auf C anwendbar sind.

Es ist jedoch mit der Zahlenmenge C genauso wie mit der Zahlenmenge R möglich Rechenregeln und Rechenoperationen auf C anzuwenden, bzw. für a +bi so zu definieren, dass die Ergebnisse „stimmen“.

1.3.   Grundrechenoperationen mit komplexen Zahlen

a)     Addition
(3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 +4) * i = 5 - i
Definition: (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b + d) * i

b)     Subtraktion
(2 + i) - 3i = 2 + (1 - 3) *i = 2 - 2i
Definition: (a + bi)
- (c +di) = (a - c) + (b - d) *i

c)      Multiplikation
(4 + 7i) * (3 - 2i) = (12 - (-14)) + (21 + (-8)) * i = 26 + 13i
Defintion: ( a + bi) * (c + di) = (ac
- bd) + (bc + ad) * i

d)     Division
[5 + 5i] / [1 + 2i] = [5 + 5i - 10i - 10i²] / [1 - 4i²] = [15 - 5i] / [5] = 3 - i
Definition [a + bi] / [c + di] = [(ac + bd) + (bc
- ad) *i] / [c² + d²]  à c + di ¹ 0

Dazu gehörige Aufgaben:

6a)      z1 = 1,7 - 08 i
            z2 = 2
p + 1,3 i           ges.: w1 = z1 + z2

w1 = (1,7 - 0,8i) + (2p + 1,3i)=
                 = (1,7 + 2
p) + (-0,8 + 1,3) =
7,98 + 0,5

11a)    z1 = 10 + 10i
            z2 = 5
- 5i                 ges.: z1/z2; z2/z1

(10 + 10i) / (5 - 5i) =
(2 + 2i) / (1
- 1i) =
[(2 + 2i) * (1 + i)] / [(1
- i) * (1 + i) =
(2 + 4i
- 2) / (1 + 1) =
            (2i) / 1 =
2i

2.   Quadratische Gleichungen

G = C !
Hier wird nun der Radikand (Ausdruck unter der Wurzel) mit „D“ bezeichnet, wobei es nun, angenommen a,b,c
Î R, drei Fälle zu unterscheiden gibt:

D > 0

Wenn die Wurzel eine reelle Zahl ¹0 ist, hat die Gleichung 2 Lösungen:

Bsp:
- 4x + 3 = 0

D = i > 0
            x1 = 1, x2 = 3
Die zugehörige Funkt.
y = x²
- 4x + 3
besitzt nun 2 Nullstellen

D = 0

Wenn die Wurzel 0 ist, hat die Gleichung genau 1 Lösung:


Bsp:
- 4x + 4 = 0

D = 0
            x1 = x2 = 2
Die zugehörige Funkt.
y = x²
- 4x + 4
besitzt nun 1 Nullstelle

D < 0

Wenn die Wurzel ist eine imaginäre Zahl ¹0 ist, hat die Gleichung 2 komplexe Lösungen:

Bsp:
- 4x + 5 = 0

D = - 1 < 0
            x1 = 2 + i, x2 = 2
- i
Die zugehörige Funkt.
y = x²
- 4x + 5
besitzt nun keine Nullstelle


Diese Unterscheidung mit der „Diskriminante“ D ist nur für G = R sinnvoll.
Da jede reelle Zahl x als komplexe Zahl x + 0*i aufgefasst werden kann, besitzt eine quadratische Gleichung in der Grundmenge C stets genau 2 Lösungen (Berücksichtigung der Vielfachheit der Lösung)(Fallunterscheidung fällt weg).


Satzgruppe von VIETA: (für normierte quadratische Gleichungen)
Sind x1 und x2 die Lösungen der Gleichung   x² + px + q = 0 für G=C, so gilt:

1)      X² + px + q = (x - x1) * (x - x2) Þ jedes quadratische Polynom ist als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben.

2)     x1 * x2 = q

3)     x1 + x2 = -p

Definition:
Zwei komplexe Zahlen, die sich nur im Vorzeichen ihres Imaginärteiles unterscheiden, heißen zueinander konjugiert. Die zur komplexen Zahl z konjugierte Zahl bezeichnet man mit z(mit Strich drüber).

Bsp.: konjugierte Zahl zu :
z = 3
- 2i àLösungà z(mit Strich drüber) = 3 + 2i

Satz von den konjugierten Lösungen für quadratische Gleichungen:
Besitzt eine (normierte) quadratische Gleichung ausschließlich reelle Koeffizienten und eine echt-komplexe Löung x1, so ist die dazu konjugiert - komplexe Zahl x1(mit Strich drüber) automatisch die zweite Lösung x2.

Dazu gehörige Aufgaben:

39a)    [(1) / (1 - x)] - [(1) / (1 + x)] = [(x² + 3) / (1 - x²)]
            ...
            (1 + x)
- (1 - x) =  x² + 3
            2x = x² + 3     
½- 2x
            0 = x²
- 2x + 3
            1x2 = [2 +
- Ö(4 - 12)] / 2
            [2 +
- Ö(-8)] / 2
            [2 +
- Ö(-2 * 4)] / 2 =
            [2 +
- Ö(-2) * 2] / 2 = ... =
            x
1 = 1 + Ö2i
            x2 = 1 - Ö2i

43b)    (x) / (x + 5) + (x - 4) / (x - 3) = (x² - 8x - 78) / ( x² + 2x + - 15)
            ... = (x²
- 3x) + (x² - 4x + 5x - 20) = (x² - 8x - 78)
x² + 6x + 58 = 0
[-6 +
- Ö(36 - 232)] / 2 =
[-6 +
- Ö(-196)] / 2 =
-3 +
- 7i =
x1 = -3 + 7i
x2 = -3
- 7i

49a)    z1 = 7 - 9i
z2 = 7 + 9i

            (7 - 9i) * (7 + 9i) =
49
- 81i² = 49 + 81 = 130 = q
(7
- 9i) + (7 + 9i) =
(7 + 7) + (9i + 9i) = 14 = -p
p = -14

3.   Algebraische Gleichungen höheren Grades

3.1.  Algebraische Gleichungen

Definition:
Eine algebraische Gleichung (n-ten Grades) ist eine Gleichung vom Typ  p(x) = 0; wobei  p(x) ein Polynom (n-ten Grades) ist:

            anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 = 0 an ¹ 0
Die Zahlen an, an
- 1, ..., a0 heißen Koeffizienten, a0 heißt absolutes Glied, n heißt Grad der Gleichung (des Polynoms). Ein Polynom vom Grad 0 heißt konstantes Polynom.
Ist an = 1, so heißt die Gleichung (das Polynom) normiert.

Da an ¹ 0 kann man jede algebraische Gleichung durch an dividieren, und dadurch in „ihre“ zugehöreige normierte Gleichung „überführen“, wobei das Ergebnis dabei nicht ändert.
Eine reelle oder komplexe Zahl x1, heißt dann Nullstelle des Polynoms (der Gleichung) p(x), wenn p(x1) = 0 ist, oder umgekehrt. Diese Bedingung wird beim graphischen Ermitteln der Lösung einer algebraischen Gleichung verwendet.

Für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es (wie auch für quadratische Gleichungen) Lösungsformeln (n = 3; n = 4), wobei hier nur die Rechenoperationen +, -, *, und n - teÖ auftreten. Wenn n ³ 5 gibt es keine. Heutzutage sind nun die Näherungsformeln bekannt, aufgrund derer die exakten Lösungsformeln nicht mehr so gebraucht werden.


3.2.  Anzahl und Art von Lösungen – Abspalten von Lösungen

Fundamentalsatz der Algebra:
In C, dem Zahlenbereich der komplexen Zahlen, besitzt jedes nichtkonstante Polynom p(x) mindestens eine Nullstelle. Þ Über C ist jede Gleichung p(x) = 0 (p(x) nicht konstant) lösbar. (BEWEIS GEHÖRT ZU DEN SCHÖNSTEN DER MATHEMATIK!)
Durch diesen „reinen Existenzsatz“ kann man auch etwas über die Anzahl der Lösungen sagen:

Wenn x1, eine Nullstelle von p(x) ist, wobei p(x) ein Polynom vom Grad n ist, so kann p(x) ohne Rest durch (x - x1) dividieren. Þp(x) = (x - x1) * p1(x), wobei p1(x) ein Polynom vom Grad n - 1 ist. (x - x1) heißt der zu x1 gehörige Wurzelfaktor (auch Linearfaktor).
Für n = 2 folgt dies aus der Satzgruppe von VIETA.

Allgemeiner Beweis:
            p(x) = anxn + an
- 1xn - 1 + ... + ax1 + a0
            p(x1) = anx1n + an
- 1x1n - 1 + … +a1x1 + a0 = 0
            p(x) = p(x)
- 0 = p(x) - p(x1) = an(xn - x1n) + … + a1(x - x1)
Aus jedem Summanden lässt sich der Faktor (x
- x1) herausheben, da für jedes k, kÎN gilt.
            xk
- x1k = (x - x1) * (xk - 1 + xk - 2x1 + ... + x1k - 1)
Man erhält so:
            p(x) = (x
- x1) * p1(x)

Durch das Abspalten (des Linearfaktors) der Nullstelle x1 vom Polynom p(x) erhöht man ein Polynom p1(x) vom Grad n - 1. Außerdem ist jede Nullstelle von p1(x) auch Nullstelle von p(x).
Um weitere Nullstellen von p(x) zu finden, muss man eine Nullstelle x2 von p1(x) finden, diese abspalten, für das neue Quotientenpolynom p2(x) wieder eine Nullstelle fnden, und diese dann wieder abspalten, usw.
Nach n – maligem Abspalten hat das Quotientenpolynom den Grad 0, woraus sich der Wurzelsatz von VIETA ergibt.

Wurzelsatz von VIETA für normierte algebraische Gleichungen:
Sind x1, x2, ..., xn die Lösungen der Gleichung xn + an
- 1 * xn - 1 + ... + a0 = 0 für G=C, so gilt:
xn + an
- 1xn -1 + ... +a0 = (x - x1) * (x - x2 * ... (x - xn)
Þ jedes Polynom n – ten Grades lässt sich als Produkt von n Linearfaktoren (seinen „Wurzelfaktoren“) anschreiben.

Auch bei Polynomen beliebigen Grades gilt:

·        Wenn das Polynom p(x) nur reelle Koeffizienten besitzt, so ist mit jeder komplexen Nullstelle z auch die konjugiert – komplexe Zahl z(Strich drüber) Nullstelle dieses Polynoms. Sie besitzt dieselbe Vielfachheit wie z.

·        Die xi müssen nicht paarweise verschieden sein; wenn eine Nullstelle xi in dieser Zerlegung genau k – mal auftritt, heißt k die Vielfachheit der Nullstelle xi:

Beispiel: x1 = 3 ist eine dreifache Nullstelle des Polynoms

            p(x) = x³ - 9x² + 27x - 27 = (x - 3)³.

Dadurch folgt die Präzisierung des Fundamentalsatzes der Algebra:

Wenn man jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit zählt, so hat ein Polynom n – ten Grades genau n Nullstellen.

3.3.  Abspalten echt – komplexer Lösungen

Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten eine echt – komplexe Lösung, so kann man diese auf zwei Arten abspalten:

1.      Mit x1 = a + bi ist auch x1(mit Strich) = a - bi = x2 Lösung der Gleichung, so dass man (x - x1) * (x - x2) = x² - 2ax + (a² + b²) „auf einmal“ abspalten kann.

2.      „Komplexe“ Polynomdivision p(x) : (x - (a + bi)

 

3.4.  Finden von Lösungen

Der Wurzelsatz von VIETA ist nur ein Teil der Satzgruppe des selbigen, in dem allgemeine Beziehungen zwischen den Lösungen xi der Gleichung und den Koeffizienten ai eben dieser Gleichung hergestellt werden
Besonders wichtig ist die Beziehung
½x1 * x2 * ... * xn½= ½a0½
Þ woraus folgt, dass wenn alle xi ganzzahlig sind, so ist a0 eine ganze Zahl, wobei für praktische Anwendungen vor allem „umgekehrte“ Überlegungen wichtig sind.

Definition:
Besitzt eine normierte algebraische Gleichung lauter ganzzahlige Koeffizienten und gibt es ganzzahlige Lösungen, so sind diese Teiler des absoluten Gliedes.

Lösen von Gleichungen durch Substitution
Bestimmte Gleichungen lassen sich durch Substitution (Einführen einer neuen Unbekannten für gewisse Ausdrücke) z.B. auf quadratische Gleichungen zurückführen.

Dazu gehörige Beispiele:

54d)    - bx² + 21x - 20 = 0,
x1 = 2
- i
            x2 = 2 +i =
- (4 - i²) = …=
(x³
- 8x² + 21x - 20) : (x² - 4x + 5) =
x
- 4 = 0
x3 = 4

57h)    - 2x² + 5x = 0
x (x²
- 2x + 5) = 0 à x1 = 0
- 2x + 5 = 0
[2 +
- Ö(4 - 20)] / 2 =
[2 +
- Ö(-16)] / 2 = ... =
1 +
-2i =
x2 = 1 + 2i
x3 = 1
- 2i

58d)    x4 - 5x³ + 7x² - x - 2 = 0
bei 1:  1 
- 5    + 7    - 1 - 2 = 0
            x1 = 1

            (x4 - 5x³ + 7x² - x - 2) : (x - 1) = x³ - 4x² + 3x + 2
            -x4 + x³
                 
- 4x³ + 7x²
            ...
            (x³
- 4x² + 3x + 2) : (x - 2) = x² - 2x - 1
            ...
            2x3 = [2 +
- Ö(4 + 4)] / 2
            [2 +
- 2 * Ö(2)] / 2 =
            1 +
- 1 * Ö2 =
            x2 = 1 +
Ö2
            x3 = 1
- Ö2

60f)     x8 - 97 x4 + 1296 = 0
            u = x4
               
- 97u - 1296 =
            [97 +
- Ö(9409 - 5184)] / 2 =
            [97 +
- Ö(4225)] / 2 =
            (97 +
- 65) / 2 =
            u1 = 81 = x4 = +
- 3
            u2 = 16 = x4 = +
- 2

63h)    15x³ - 49x² + 49x - 15 = 0
bei 1:  15 
-  49    + 49  -  15 = 0
... Polynomdivision
à Lösungsformel.

66d)    x4 + 4x² - 5
            u = x4   u² + 4u
- 5 = 0
            [
-4 +- Ö(16 + 20)] / 2 =
            [
-4 +- Ö36] / 2 = 1; -5
            (x²
- 1) * (x² + 5)

4.   Polardarstellung der komplexen Zahlen

4.1.  Polardarstellung komplexer Zahlen

Man spricht nun von der kartesischen Binomialdarstellung  a + bi komplexer Zahlen. Da jeder komplexen Zahl z genau ein Punkt P in der GAUSS’schen Zahlenebene entspricht, kann man z durch das Zahlenpaar (a½b) der kartesischen Koordinaten von P darstellen:

            Z = a + bi entspr.  P (a½b) = P(Re(z)½Im(z)).

Ebenfalls ist es möglich z durch den Pfeil OP festzulegen.
            z = OP = (Re(z)
½Im(z)), wodurch die zweidimensionale, komplexe Zahl z als Vektor dargestellt ist.
Der Pfeil OP lässt sich auch durch das Zahlenpaar (r
½j) der Polarkoordinaten von P darstellen, wobei man sich aus Gründen der Eindeutigkeit der Darstellung auf Winkel im Standardintervall 0 £ j < 2p beschränkt.

Definition: r * (cos j + i * sin j) heißt Polardarstellung der komplexen Zahl z.
Die Länge r des Pfeils OP heißt Betrag der komplexen Zahl z. Wir schreiben
½z½ = r.
Der Winkel
j des (0 £ j £ 2p) heißt Argument der komplexen Zahl z. Mn schreibt arg: z

Umrechnungsformeln zwischen kartesischer Binomialform und Polardarstellung:
            a = r *cosj                                                         r = Ö(a² + b²)
            b = r *sin
j                                                          tanj = b/a (0 £ j £ 2p)

4.2.  Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polardarstellung:

Der Vorteil der Polardarstellung komplexer Zahlen besteht darin, dass Punktrechnungen (und auch Rechenoperationen 3. Stufe) in dieser Darstellung sehr einfach ausgeführt werden können.

Für z1 = r1 * (cosj1 + i * sinj1) und z2 = r2 * (cosj2 + i * sinj2) gilt:
z1 * z2 = r1 * r2 * (cos(
j1 + j2) + i + sin(j1 + j2)) 
z1/z2 = r1/r2 * (cos(
j1 - j2) + i * sin (j1 - j2))

Dazu gehörige Aufgaben:

79h)    6 + 8i
            a² + b² = c²
           
Ö(64 + 36) = 10 = r
            tan
j = 8 / 6 = 53,13°
            z(10
½53,13°)

80h)    Ö7 (cos 95° + i * sin 95°)
            -0, 231 + 2,636i

90h)    ½-9 + bi½ = ½(-9 + bi) +12½ 
           
½-9 + bi½ = ½-18 + 2bi + 12½
           
½-9 + bi½ = ½-6 + 2bi½
           
Ö(81 + b²) = Ö(36 + 4b²)
            81 + b² = 36 + 4b² 
            45 = 3b²
            15 = b²
           
Ö15 = b
            z = -9 +
Ö15i

94a)    z1 = (3,6 ½ 75°); z2 = (1,2 ½ 30°)
            z1 / z2 = (3
½ 45°)
            z1 * z2 = (4,32
½ 105°)

5.   Rückblick und Ausblick

5.1.  Die komplexen Zahlen als Zahlenbereichserweiterung

Durch die Erfindung einer neuen Zahl i, i² = - 1, wird der Bereich der reellen Zahlen erweitert. Diese Zahl kann durch ihren Wert nicht reell sein, wodurch neue Zahlen a + bi (a, b Î R), die komplexen Zahlen. Dadurch enthält die Menge der komplexen Zahlen die Menge der reellen Zahlen als Spezialfälle. In diesem neuen Zahlenbereich lassen sich nun Probleme lösen, die mit den reellen Zahlen nicht lösbar waren. (z.B. Wurzeln aus negativen Zahlen, und man kann jede algebraische Gleichung p(x) = 0 lösen. )

Daraus ergibt sich die Frage ob man nun von C aus, noch in einen größeren Zahlenbereich erweitern kann. MAN KANN! Allerdings existiert kein größerer Zahlenbereich nach C, indem alle Rechenregeln wie in R oder C gelten würden. Insofert stellt C den logischen Abschluss dar.

  
Numerische Mathematik: Eine algorithmisch orientierte Einführung: [Band] 1 (de Gruyter Lehrbuch)
von Peter Deuflhard,
Andreas Hohmann
Siehe auch:
Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte …
Analysis 1: Differential- und Integralrechnung …
Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler …
Numerische Mathematik: Gewöhnliche …
Numerische Mathematik: Adaptive Lösung partieller Differentialgleichungen: …
Stoer / Bulirsch: Numerische Mathematik 1 …
 
   
 
     

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