D > 0

Wenn die Wurzel eine reelle Zahl ¹0 ist, hat die Gleichung 2 Lösungen:

Bsp:
x² - 4x + 3 = 0

D = i > 0
            x₁ = 1, x₂ = 3
Die zugehörige Funkt.
y = x² - 4x + 3
besitzt nun 2 Nullstellen

D = 0

Wenn die Wurzel 0 ist, hat die Gleichung genau 1 Lösung:

Bsp:
x² - 4x + 4 = 0

D = 0
            x₁ = x₂ = 2
Die zugehörige Funkt.
y = x² - 4x + 4
besitzt nun 1 Nullstelle

D < 0

Wenn die Wurzel ist eine imaginäre Zahl ¹0 ist, hat die Gleichung 2 komplexe Lösungen:

Bsp:
x² - 4x + 5 = 0

D = - 1 < 0
            x₁ = 2 + i, x₂ = 2 - i
Die zugehörige Funkt.
y = x² - 4x + 5
besitzt nun keine Nullstelle

Diese Unterscheidung mit der „Diskriminante“ D ist nur für G = R sinnvoll.
Da jede reelle Zahl x als komplexe Zahl x + 0*i aufgefasst werden kann, besitzt eine quadratische Gleichung in der Grundmenge C stets genau 2 Lösungen (Berücksichtigung der Vielfachheit der Lösung)(Fallunterscheidung fällt weg).

Satzgruppe von VIETA: (für normierte quadratische Gleichungen)
Sind x₁ und x₂ die Lösungen der Gleichung   x² + px + q = 0 für G=C, so gilt:

1)      X² + px + q = (x - x₁) * (x - x₂) Þ jedes quadratische Polynom ist als Produkt zweier Linearfaktoren schreiben.

2)     x₁ * x₂ = q

3)     x₁ + x₂ = -p

Definition:
Zwei komplexe Zahlen, die sich nur im Vorzeichen ihres Imaginärteiles unterscheiden, heißen zueinander konjugiert. Die zur komplexen Zahl z konjugierte Zahl bezeichnet man mit z(mit Strich drüber).

Bsp.: konjugierte Zahl zu :
z = 3 - 2i àLösungà z(mit Strich drüber) = 3 + 2i

Satz von den konjugierten Lösungen für quadratische Gleichungen:
Besitzt eine (normierte) quadratische Gleichung ausschließlich reelle Koeffizienten und eine echt-komplexe Löung x₁, so ist die dazu konjugiert - komplexe Zahl x₁(mit Strich drüber) automatisch die zweite Lösung x₂.

Dazu gehörige Aufgaben:

39a)    [(1) / (1 - x)] - [(1) / (1 + x)] = [(x² + 3) / (1 - x²)]
            ...
            (1 + x) - (1 - x) =  x² + 3
            2x = x² + 3      ½- 2x
            0 = x² - 2x + 3
            ₁x₂ = [2 +- Ö(4 - 12)] / 2
            [2 +- Ö(-8)] / 2
            [2 +- Ö(-2 * 4)] / 2 =
            [2 +- Ö(-2) * 2] / 2 = ... =
            x₁ = 1 + Ö2i
            x₂ = 1 - Ö2i

43b)    (x) / (x + 5) + (x - 4) / (x - 3) = (x² - 8x - 78) / ( x² + 2x + - 15)
            ... = (x² - 3x) + (x² - 4x + 5x - 20) = (x² - 8x - 78)
x² + 6x + 58 = 0
[-6 +- Ö(36 - 232)] / 2 =
[-6 +- Ö(-196)] / 2 =
-3 +- 7i =
x1 = -3 + 7i
x2 = -3 - 7i

49a)    z1 = 7 - 9i
z2 = 7 + 9i

            (7 - 9i) * (7 + 9i) =
49 - 81i² = 49 + 81 = 130 = q
(7 - 9i) + (7 + 9i) =
(7 + 7) + (9i + 9i) = 14 = -p
p = -14

3.   Algebraische Gleichungen höheren Grades

3.1.  Algebraische Gleichungen

Definition:
Eine algebraische Gleichung (n-ten Grades) ist eine Gleichung vom Typ  p(x) = 0; wobei  p(x) ein Polynom (n-ten Grades) ist:

            a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a₁x + a₀ = 0 a_n ¹ 0
Die Zahlen a_n, a_{n - 1}, ..., a₀ heißen Koeffizienten, a₀ heißt absolutes Glied, n heißt Grad der Gleichung (des Polynoms). Ein Polynom vom Grad 0 heißt konstantes Polynom.
Ist a_n = 1, so heißt die Gleichung (das Polynom) normiert.

Da a_n ¹ 0 kann man jede algebraische Gleichung durch a_n dividieren, und dadurch in „ihre“ zugehöreige normierte Gleichung „überführen“, wobei das Ergebnis dabei nicht ändert.
Eine reelle oder komplexe Zahl x₁, heißt dann Nullstelle des Polynoms (der Gleichung) p(x), wenn p(x1) = 0 ist, oder umgekehrt. Diese Bedingung wird beim graphischen Ermitteln der Lösung einer algebraischen Gleichung verwendet.

Für Gleichungen dritten und vierten Grades gibt es (wie auch für quadratische Gleichungen) Lösungsformeln (n = 3; n = 4), wobei hier nur die Rechenoperationen +, -, *, und n - teÖ auftreten. Wenn n ³ 5 gibt es keine. Heutzutage sind nun die Näherungsformeln bekannt, aufgrund derer die exakten Lösungsformeln nicht mehr so gebraucht werden.

3.2.  Anzahl und Art von Lösungen – Abspalten von Lösungen

Fundamentalsatz der Algebra:
In C, dem Zahlenbereich der komplexen Zahlen, besitzt jedes nichtkonstante Polynom p(x) mindestens eine Nullstelle. Þ Über C ist jede Gleichung p(x) = 0 (p(x) nicht konstant) lösbar. (BEWEIS GEHÖRT ZU DEN SCHÖNSTEN DER MATHEMATIK!)
Durch diesen „reinen Existenzsatz“ kann man auch etwas über die Anzahl der Lösungen sagen:

Wenn x₁, eine Nullstelle von p(x) ist, wobei p(x) ein Polynom vom Grad n ist, so kann p(x) ohne Rest durch (x - x₁) dividieren. Þp(x) = (x - x₁) * p1(x), wobei p₁(x) ein Polynom vom Grad n - 1 ist. (x - x1) heißt der zu x₁ gehörige Wurzelfaktor (auch Linearfaktor).
Für n = 2 folgt dies aus der Satzgruppe von VIETA.

Allgemeiner Beweis:
            p(x) = a_nxⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + ax₁ + a₀
            p(x₁) = a_nx₁ⁿ + a_{n - 1}x₁^{n - 1} + … +a₁x₁ + a₀ = 0
            p(x) = p(x) - 0 = p(x) - p(x₁) = a_n(xⁿ - x₁ⁿ) + … + a₁(x - x₁)
Aus jedem Summanden lässt sich der Faktor (x - x₁) herausheben, da für jedes k, kÎN gilt.
            x^k - x₁^k = (x - x₁) * (x^{k - 1} + x^{k - 2}x₁ + ... + x₁^{k - 1})
Man erhält so:
            p(x) = (x - x₁) * p₁(x)

Durch das Abspalten (des Linearfaktors) der Nullstelle x₁ vom Polynom p(x) erhöht man ein Polynom p₁(x) vom Grad n - 1. Außerdem ist jede Nullstelle von p₁(x) auch Nullstelle von p(x).
Um weitere Nullstellen von p(x) zu finden, muss man eine Nullstelle x₂ von p₁(x) finden, diese abspalten, für das neue Quotientenpolynom p₂(x) wieder eine Nullstelle fnden, und diese dann wieder abspalten, usw.
Nach n – maligem Abspalten hat das Quotientenpolynom den Grad 0, woraus sich der Wurzelsatz von VIETA ergibt.

Wurzelsatz von VIETA für normierte algebraische Gleichungen:
Sind x₁, x₂, ..., x_n die Lösungen der Gleichung xⁿ + a_{n - 1} * x^{n - 1} + ... + a₀ = 0 für G=C, so gilt:
xⁿ + a_{n - 1}x^{n -1} + ... +a₀ = (x - x₁) * (x - x₂ * ... (x - x_n)
Þ jedes Polynom n – ten Grades lässt sich als Produkt von n Linearfaktoren (seinen „Wurzelfaktoren“) anschreiben.

Auch bei Polynomen beliebigen Grades gilt:

·        Wenn das Polynom p(x) nur reelle Koeffizienten besitzt, so ist mit jeder komplexen Nullstelle z auch die konjugiert – komplexe Zahl z(Strich drüber) Nullstelle dieses Polynoms. Sie besitzt dieselbe Vielfachheit wie z.

·        Die x_i müssen nicht paarweise verschieden sein; wenn eine Nullstelle x_i in dieser Zerlegung genau k – mal auftritt, heißt k die Vielfachheit der Nullstelle x_i:

Beispiel: x1 = 3 ist eine dreifache Nullstelle des Polynoms

            p(x) = x³ - 9x² + 27x - 27 = (x - 3)³.

Dadurch folgt die Präzisierung des Fundamentalsatzes der Algebra:

Wenn man jede Nullstelle mit ihrer Vielfachheit zählt, so hat ein Polynom n – ten Grades genau n Nullstellen.

3.3.  Abspalten echt – komplexer Lösungen

Kennt man von einer algebraischen Gleichung mit reellen Koeffizienten eine echt – komplexe Lösung, so kann man diese auf zwei Arten abspalten:

1.      Mit x₁ = a + bi ist auch x₁(mit Strich) = a - bi = x₂ Lösung der Gleichung, so dass man (x - x₁) * (x - x₂) = x² - 2ax + (a² + b²) „auf einmal“ abspalten kann.

2.      „Komplexe“ Polynomdivision p(x) : (x - (a + bi)

 

3.4.  Finden von Lösungen

Der Wurzelsatz von VIETA ist nur ein Teil der Satzgruppe des selbigen, in dem allgemeine Beziehungen zwischen den Lösungen x_i der Gleichung und den Koeffizienten a_i eben dieser Gleichung hergestellt werden
Besonders wichtig ist die Beziehung ½x₁ * x₂ * ... * x_n½= ½a₀½
Þ woraus folgt, dass wenn alle x_i ganzzahlig sind, so ist a₀ eine ganze Zahl, wobei für praktische Anwendungen vor allem „umgekehrte“ Überlegungen wichtig sind.

Definition:
Besitzt eine normierte algebraische Gleichung lauter ganzzahlige Koeffizienten und gibt es ganzzahlige Lösungen, so sind diese Teiler des absoluten Gliedes.

Lösen von Gleichungen durch Substitution
Bestimmte Gleichungen lassen sich durch Substitution (Einführen einer neuen Unbekannten für gewisse Ausdrücke) z.B. auf quadratische Gleichungen zurückführen.

Dazu gehörige Beispiele:

54d)    x³ - bx² + 21x - 20 = 0,
x1 = 2 - i
            x₂ = 2 +i =
x² - (4 - i²) = …=
(x³ - 8x² + 21x - 20) : (x² - 4x + 5) =
x - 4 = 0
x₃ = 4

57h)    x³ - 2x² + 5x = 0
x (x² - 2x + 5) = 0 à x₁ = 0
x² - 2x + 5 = 0
[2 +- Ö(4 - 20)] / 2 =
[2 +- Ö(-16)] / 2 = ... =
1 +-2i =
x₂ = 1 + 2i
x₃ = 1 - 2i

58d)    x⁴ - 5x³ + 7x² - x - 2 = 0
bei 1:  1  - 5    + 7    - 1 - 2 = 0
            x₁ = 1

            (x⁴ - 5x³ + 7x² - x - 2) : (x - 1) = x³ - 4x² + 3x + 2
            -x⁴ + x³
                  - 4x³ + 7x²
            ...
            (x³ - 4x² + 3x + 2) : (x - 2) = x² - 2x - 1
            ...
            ₂x₃ = [2 +- Ö(4 + 4)] / 2
            [2 +- 2 * Ö(2)] / 2 =
            1 +- 1 * Ö2 =
            x₂ = 1 + Ö2
            x₃ = 1 - Ö2

60f)     x⁸ - 97 x⁴ + 1296 = 0
            u = x⁴
                u² - 97u - 1296 =
            [97 +- Ö(9409 - 5184)] / 2 =
            [97 +- Ö(4225)] / 2 =
            (97 +- 65) / 2 =
            u₁ = 81 = x⁴ = +- 3
            u₂ = 16 = x⁴ = +- 2

63h)    15x³ - 49x² + 49x - 15 = 0
bei 1:  15  -  49    + 49  -  15 = 0
... Polynomdivision à Lösungsformel.

66d)    x⁴ + 4x² - 5
            u = x⁴   u² + 4u - 5 = 0
            [-4 +- Ö(16 + 20)] / 2 =
            [-4 +- Ö36] / 2 = 1; -5
            (x² - 1) * (x² + 5)

4.   Polardarstellung der komplexen Zahlen

4.1.  Polardarstellung komplexer Zahlen

Man spricht nun von der kartesischen Binomialdarstellung  a + bi komplexer Zahlen. Da jeder komplexen Zahl z genau ein Punkt P in der GAUSS’schen Zahlenebene entspricht, kann man z durch das Zahlenpaar (a½b) der kartesischen Koordinaten von P darstellen:

            Z = a + bi entspr.  P (a½b) = P(Re(z)½Im(z)).

Ebenfalls ist es möglich z durch den Pfeil OP festzulegen.
            z = OP = (Re(z)½Im(z)), wodurch die zweidimensionale, komplexe Zahl z als Vektor dargestellt ist.
Der Pfeil OP lässt sich auch durch das Zahlenpaar (r½j) der Polarkoordinaten von P darstellen, wobei man sich aus Gründen der Eindeutigkeit der Darstellung auf Winkel im Standardintervall 0 £ j < 2p beschränkt.

Definition: r * (cos j + i * sin j) heißt Polardarstellung der komplexen Zahl z.
Die Länge r des Pfeils OP heißt Betrag der komplexen Zahl z. Wir schreiben ½z½ = r.
Der Winkel j des (0 £ j £ 2p) heißt Argument der komplexen Zahl z. Mn schreibt arg: z

Umrechnungsformeln zwischen kartesischer Binomialform und Polardarstellung:
            a = r *cosj                                                         r = Ö(a² + b²)
            b = r *sinj                                                          tanj = b/a (0 £ j £ 2p)

4.2.  Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in Polardarstellung:

Der Vorteil der Polardarstellung komplexer Zahlen besteht darin, dass Punktrechnungen (und auch Rechenoperationen 3. Stufe) in dieser Darstellung sehr einfach ausgeführt werden können.

Für z₁ = r₁ * (cosj₁ + i * sinj₁) und z₂ = r₂ * (cosj₂ + i * sinj₂) gilt:
z₁ * z₂ = r₁ * r₂ * (cos(j₁ + j₂) + i + sin(j₁ + j₂)) 
z₁/z₂ = r₁/r₂ * (cos(j₁ - j₂) + i * sin (j₁ - j₂))

Dazu gehörige Aufgaben:

79h)    6 + 8i
            a² + b² = c²
            Ö(64 + 36) = 10 = r
            tanj = 8 / 6 = 53,13°
            z(10½53,13°)

80h)    Ö7 (cos 95° + i * sin 95°)
            -0, 231 + 2,636i

90h)    ½-9 + bi½ = ½(-9 + bi) +12½ 
            ½-9 + bi½ = ½-18 + 2bi + 12½
            ½-9 + bi½ = ½-6 + 2bi½
            Ö(81 + b²) = Ö(36 + 4b²)
            81 + b² = 36 + 4b² 
            45 = 3b²
            15 = b²
            Ö15 = b
            z = -9 + Ö15i

94a)    z₁ = (3,6 ½ 75°); z₂ = (1,2 ½ 30°)
            z₁ / z₂ = (3 ½ 45°)
            z₁ * z₂ = (4,32 ½ 105°)

5.   Rückblick und Ausblick

5.1.  Die komplexen Zahlen als Zahlenbereichserweiterung

Durch die Erfindung einer neuen Zahl i, i² = - 1, wird der Bereich der reellen Zahlen erweitert. Diese Zahl kann durch ihren Wert nicht reell sein, wodurch neue Zahlen a + bi (a, b Î R), die komplexen Zahlen. Dadurch enthält die Menge der komplexen Zahlen die Menge der reellen Zahlen als Spezialfälle. In diesem neuen Zahlenbereich lassen sich nun Probleme lösen, die mit den reellen Zahlen nicht lösbar waren. (z.B. Wurzeln aus negativen Zahlen, und man kann jede algebraische Gleichung p(x) = 0 lösen. )

Daraus ergibt sich die Frage ob man nun von C aus, noch in einen größeren Zahlenbereich erweitern kann. MAN KANN! Allerdings existiert kein größerer Zahlenbereich nach C, indem alle Rechenregeln wie in R oder C gelten würden. Insofert stellt C den logischen Abschluss dar.